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Ce livre propose un panorama pr#233;cis des diff#233;rentes m#233;thodes de raisonnement que l'on rencontre en math#233;matiques. Les syllogismes d'Aristote sont le point de d#233;part d'un voyage dans les contr#233;es du raisonnement d#233;ductif et de son utilisation. D'autres modes de raisonnements seront abord#233;s, comme les raisonnements inductifs et abductifs, pour arriver #224; mieux comprendre la particularit#233; des sciences logico-d#233;ductives. Agr#233;ment#233; de 74 exemples propos#233;s sous forme d'exercices de difficult#233;s vari#233;es, corrig#233;s et comment#233;s avec soin, ce septi#232;me volume de la collection des DOSSIERS MATHEMATIQUES est l'occasion de faire le point sur les m#233;thodes dont on dispose en math#233;matiques pour chercher, raisonner, et r#233;diger. La plupart des exercices propos#233;s demandent d'avoir au moins suivi la fili#232;re scientifique des lyc#233;es, m#234;me si des connaissances math#233;matiques des deux premi#232;res ann#233;es de licence sont souhaitables pour une lecture facilit#233;e de certains passages. Comme l'a #233;crit Epicure dans sa Lettre #224; M#233;n#233;c#233;e : #171; Il vaut mieux #233;chouer par mauvaise fortune, apr#232;s avoir bien raisonn#233;, que r#233;ussir par heureuse fortune, apr#232;s avoir mal raisonn#233; #187;. Mais que veut dire #171; bien raisonner #187; ? Apr#232;s un premier chapitre qui rappelle ce que sont les syllogismes, les paralogismes et les sophismes, on trouvera une description concise du raisonnement d#233;ductif, avec quelques rappels concernant les tables de v#233;rit#233;, les pr#233;dicats et les quantificateurs. Le chapitre 3 d#233;crit sept raisonnements tr#232;s utilis#233;s en math#233;matiques : - Raisonner directement en d#233;duisant syst#233;matiquement les affirmations les unes des autres est un moyen de proc#233;der, m#234;me s'il s'av#232;re judicieux de casser ce sch#233;ma pour permettre d'#234;tre plus cr#233;atif, par exemple en commen#231;ant par la conclusion. - Raisonner par disjonction de cas est parfois incontournable, comme le sugg#232;re un paradoxe de Lewis Carroll ou l'exercice sur les chevaliers et les gueux. - Un contre-exemple suffit pour infirmer une propri#233;t#233; pr#233;sent#233;e comme g#233;n#233;rale. - Raisonner par contrapos#233;e peut #234;tre utile, mais l'int#233;r#234;t majeur de la prise de la contrapos#233;e d'une implication r#233;side plut#244;t dans la capacit#233; de r#233;#233;crire une affirmation de fa#231;on totalement nouvelle et insoup#231;onn#233;e. - Le raisonnement par l'absurde remplace avec bonheur l'utilisation de la contrapos#233;e en offrant plus de souplesse et de libert#233;. On se posera cependant la question de savoir pourquoi le raisonnement par l'absurde est souvent mal aim#233; quand il s'agit d'#233;crire une d#233;monstration. - Il est impossible de se passer du raisonnement par analyse-synth#232;se tant celui-ci permet de d#233;buter une recherche tout en offrant une m#233;thode de construction des objets auxquels on s'int#233;resse. - En dernier lieu, on #233;tudiera le raisonnement par r#233;currence qui donne un sens #224; des propositions qui touchent #224; une infinit#233; de d#233;clarations. Un dernier chapitre s'int#233;resse #224; l'enseignement du raisonnement, qu'il ne faut pas trop vite confondre avec la pratique de la d#233;monstration. L'apprentissage du raisonnement devrait #234;tre l'un des objectifs principaux de l'enseignement des math#233;matiques, conjointement #224; l'acquisition de tout un panel de savoirs structur#233;s construits sur des r#233;sultats que l'on aura d#233;montr#233;s, ou du moins justifi#233;s de la fa#231;on la plus rigoureuse possible #224; un niveau d'enseignement donn#233;.
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La loi normale, et les applications que constituent l'#233;chantillonnage et l'estimation, ont fait leur entr#233;e en fanfare dans les programmes du lyc#233;e avec la r#233;forme Chatel 2010. Ces notions difficiles #224; ma#238;triser et #224; enseigner font maintenant partie du bagage initial de tout professeur certifi#233;. Ce livre donne les moyens de faire le point sur ces th#232;mes en proposant plusieurs entr#233;es qui permettront au lecteur de trouver rapidement ce qu'il cherche. Il s'adresse #224; toute personne au moins titulaire d'une licence de math#233;matiques qui d#233;sire conna#238;tre la loi normale et ses applications telles qu'elles sont pr#233;sent#233;es au lyc#233;e actuellement. Le premier chapitre de rappels peut #234;tre saut#233; si la d#233;finition d'une variable al#233;atoire #224; densit#233;, et les quelques autres d#233;finitions qui vont avec, sont d#233;j#224; connues. Le Chapitre 2 pr#233;sente tout ce qu'il faut savoir sur les lois normales : c'est un chapitre cl#233; #224; #233;tudier compl#232;tement. Il est conseill#233; de sauter le Chapitre 3 en premi#232;re lecture, et de ne s'y lancer que si l'on d#233;sire absolument voir une d#233;monstration compl#232;te du Th#233;or#232;me central limite (TCL) dont un corollaire, le Th#233;or#232;me de Moivre-Laplace, sera utilis#233; dans la suite. Ce Chapitre 3 est #224; sauter d#233;finitivement pour les candidats au CAPES et #224; l'agr#233;gation interne o#249; ces deux th#233;or#232;mes font partie des r#233;sultats admis. Quand on pr#233;pare un concours, le temps manque et il est conseill#233; de cibler ses apprentissages. Apr#232;s le Chapitre 2, on passera directement au Chapitre 4 qui montre l'approximation de certaines lois de probabilit#233; par des lois normales, puis on encha#238;nera avec le Chapitre 5 pr#233;sentant le probl#232;me de l'#233;chantillonnage, les intervalles de fluctuation et quelques d#233;veloppements importants. Le Chapitre 6, #224; lire absolument, ach#232;ve ce voyage minimal en expliquant la probl#233;matique de l'estimation de certains param#232;tres d'une population de taille importante, et en d#233;finissant les intervalles de confiance. Au Chapitre 7, un petit r#233;sum#233; fait le point sur les notions importantes #224; retenir. Si on le d#233;sire, on peut d'ailleurs commencer par lire ce r#233;sum#233; avant de se lancer dans l'#233;tude des autres chapitres, utilisant ce d#233;veloppement comme une d#233;licieuse #171; mise en bouche #187;. Les Chapitres 8 et 9 offrent quelques approfondissements sur tout ce qui a trait #224; la loi normale au lyc#233;e, en permettant notamment de : - visiter les programmes officiels du secondaire, - d#233;couvrir tous les exercices pos#233;s au BAC 2015 sur ce th#232;me, - explorer deux utilisations du logiciel Geogebra dans les classes. Pour finir, un annexe revient sur quelques questions pos#233;es plus t#244;t, comme celle de la d#233;finition de l'int#233;grabilit#233; d'une fonction sur R, si importante dans la d#233;finition d'une variable al#233;atoire #224; densit#233;, et propose la correction d'un probl#232;me extrait du CAPES externe 2013 portant sur le rapport entre la loi normale et l'entropie d'une variable al#233;atoire. Nul doute que ce voyage dans le pays des approximations et des possibles laisse un bon souvenir !
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