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Le num#233;ro 13 des Dossiers Math#233;matiques traite quatre th#232;mes importants d'analyse math#233;matique : la comparaison des fonctions au voisinage d'un point, les formules de Taylor, les d#233;veloppements limit#233;s et les s#233;ries enti#232;res. L'objectif est de revisiter et approfondir ces th#232;mes fondamentaux, pour soi-m#234;me ou pour pr#233;parer l'agr#233;gation, en disposant d'un texte fluide et rigoureux qui multiplie les rappels et les annexes pour pr#233;ciser clairement les tenants et les aboutissants. De ce point de vue, le voyage qui s'offre #224; nous d#233;passe le cadre strict des formules de Taylor, et se comprend comme la suite naturelle du num#233;ro 6 de la collection sur les grands th#233;or#232;mes de l'analyse. Il s'agit ici d'explorer ces constructions qui permettent d'approcher des fonctions par des applications polynomiales. Le voyage d#233;bute avec un premier chapitre sur le th#233;or#232;me de Rolle pour encha#238;ner sur la tr#232;s n#233;cessaire comparaison des fonctions au voisinage d'un point : domination, pr#233;pond#233;rance, #233;quivalence, avec de nombreux r#233;sultats #224; conna#238;tre et #224; utiliser au moment fatidique, que ce soit #224; l'#233;crit d'un concours ou pendant l'entretien avec un jury d'oral. Le chapitre 3 d#233;crit les trois formules de Taylor pour une fonction r#233;elle de la variable r#233;elle, avec de nombreux commentaires et des applications. Il propose en outre les g#233;n#233;ralisations des formules de Taylor aux cas des fonctions d'un espace vectoriel norm#233; dans un autre. Le chapitre 4 traite des d#233;veloppements limit#233;s : que faut-il apprendre et retenir ? Quels sont les #233;nonc#233;s salvateurs #224; savoir quand on s'escrime sur un probl#232;me ? Il a #233;t#233; jug#233; utile de rajouter un dernier chapitre tr#232;s complet sur les d#233;veloppements en s#233;ries enti#232;re d'une variable complexe, un sujet proche des formules de Taylor qui compl#232;te l'#233;clairage sur ces approximations de fonctions obtenues #224; l'aide de la formule de Mac Laurin. Apr#232;s l'investissement consenti dans les chapitres pr#233;c#233;dents, il aurait #233;t#233; dommage de ne pas profiter de l'occasion : il faut battre le fer tant qu'il est chaud ! Une annexe regroupe des d#233;veloppements sur la droite num#233;rique achev#233;e (indispensable quand on s'int#233;resse #224; des limites de fonctions de R dans R), sur la premi#232;re formule de la moyenne, et propose un petit cours tr#232;s complet sur les limites sup#233;rieures des suites avec les rappels concernant les r#232;gles de Cauchy et d'Alembert, #233;nonc#233;es et d#233;montr#233;es #224; l'aide de ces limites #171; qui existent pour n'importe quelles suites #187;. Ce livre s'adresse principalement #224; des #233;tudiants de licence et aux candidats au concours d'agr#233;gation de math#233;matiques interne ou externe. Apr#232;s les r#233;formes successives du CAPES math#233;matiques d#233;but#233;es en 2010 (changement des #233;preuves et du programme en 2011 puis 2014) les th#232;mes abord#233;s ici sont moins essentiels #224; la pr#233;paration de ce concours. Il est temps de mettre les voiles vers ces rivages magnifiques qui bordent le continent des sciences formelles : profitons du voyage et d#233;couvrons sans cesse...
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